計算機科學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系有點奇怪。二三十年以前，計算機科學(xué)基本上還是數(shù)學(xué)的一個分支。而現(xiàn)在，計算機科學(xué)擁有廣泛的研究領(lǐng)域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動數(shù)學(xué)發(fā)展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。青出于藍，而勝于藍可以形容計算機與數(shù)學(xué)的關(guān)系。

但不管怎么樣，這個孩子身上始終流著母親的血液。這血液是the mathematical underpinning of computer science(計算機科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ))，-- 也就是理論計算機科學(xué)。

現(xiàn)代計算機科學(xué)和數(shù)學(xué)的另一個交叉是計算數(shù)學(xué)/數(shù)值分析/科學(xué)計算，傳統(tǒng)上不包含在理論計算機科學(xué)以內(nèi)。所以本文對計算數(shù)學(xué)全部予以忽略。最常和理論計算機科學(xué)放在一起的一個詞是什么?答：離散數(shù)學(xué)。這兩者的關(guān)系是如此密切，以至于它們在不少場合下成為同義詞。

傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)是以分析為中心的。數(shù)學(xué)系的同學(xué)要學(xué)習(xí)三四個學(xué)期的數(shù)學(xué)分析，然后是復(fù)變，實變，泛函等等。實變和泛函被很多人認為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的入門。在物理，化學(xué)，工程上應(yīng)用的，也以分析為主。

隨著計算機科學(xué)的出現(xiàn)，一些以前不太受到重視的數(shù)學(xué)分支突然重要起來。人們發(fā)現(xiàn)，這些分支處理的數(shù)學(xué)對象與傳統(tǒng)的分析有明顯的區(qū)別：分析研究的對象是連續(xù)的，因而微分，積分成為基本的運算;而這些分支研究的對象是離散的，因而很少有機會進行此類的計算。人們從而稱這些分支為;離散數(shù)學(xué)

離散數(shù)學(xué)經(jīng)過幾十年發(fā)展，基本上穩(wěn)定下來。一般認為，離散數(shù)學(xué)包含以下學(xué)科：

1) 集合論，數(shù)理邏輯與元數(shù)學(xué)。這是整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是計算機科學(xué)的基礎(chǔ)。

2) 圖論，算法圖論;組合數(shù)學(xué)，組合算法。計算機科學(xué)，尤其是理論計算機科學(xué)的核心是算法，而大量的算法建立在圖和組合的基礎(chǔ)上。

3) 抽象代數(shù)。代數(shù)是無所不在的，本來在數(shù)學(xué)中就非常重要。在計算機科學(xué)中，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)代數(shù)竟然有如此之多的應(yīng)用。

但是，理論計算機科學(xué)僅僅就是在數(shù)學(xué)的上面加上;離散;的帽子這么簡單嗎?一直到大約十幾年前，終于有一位大師告訴我們：不是。

D.E.Knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在Stanford開設(shè)了一門全新的課程Concrete Mathematics。 Concrete這個詞在這里有兩層含義：

第一，針對abstract而言。Knuth認為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的對象過于抽象，導(dǎo)致對具體的問題關(guān)心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數(shù)學(xué)往往并不存在，所以他只能自己去創(chuàng)造一些數(shù)學(xué)。為了直接面向應(yīng)用的需要，他要提倡;具體;的數(shù)學(xué)。

在這里我做一點簡單的解釋。例如在集合論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的都是最根本的問題--公理系統(tǒng)的各種性質(zhì)之類。而一些具體集合的性質(zhì)，各種常見集合，關(guān)系，映射都是什么樣的，數(shù)學(xué)家覺得并不重要。然而，在計算機科學(xué)中應(yīng)用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能夠首先看到這一點，不愧為當世計算機第一人。

第二，Concrete是Continuous(連續(xù))加上discrete(離散)。不管連續(xù)數(shù)學(xué)還是離散數(shù)學(xué)，都是有用的數(shù)學(xué)!前面主要是從數(shù)學(xué)角度來看的。從計算機角度來看，理論計算機科學(xué)目前主要的研究領(lǐng)域包括：可計算性理論，算法設(shè)計與復(fù)雜性分析，密碼學(xué)與信息安全，分布式計算理論，并行計算理論，網(wǎng)絡(luò)理論，生物信息計算，計算幾何學(xué)，程序語言理論等等。這些領(lǐng)域互相交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出一個頭緒來。

下面隨便舉一些例子。

由于應(yīng)用需求的推動，密碼學(xué)現(xiàn)在成為研究的熱點。密碼學(xué)建立在數(shù)論(尤其是計算數(shù)論)，代數(shù)，信息論，概率論和隨機過程的基礎(chǔ)上，有時也用到圖論和組合學(xué)等。

很多人以為密碼學(xué)就是加密解密，而加密就是用一個函數(shù)把數(shù)據(jù)打亂。這就大錯特錯了。現(xiàn)代密碼學(xué)至少包含以下層次的內(nèi)容：

第一，密碼學(xué)的基礎(chǔ)。例如，分解一個大數(shù)真的很困難嗎?能否有一般的工具證明協(xié)議正確?

第二，密碼學(xué)的基本課題。例如，比以前更好的單向函數(shù)，簽名協(xié)議等。

第三，密碼學(xué)的高級問題。例如，零知識證明的長度，秘密分享的方法。

第四，密碼學(xué)的新應(yīng)用。例如，數(shù)字現(xiàn)金，叛徒追蹤等。

現(xiàn)代社會科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展也已經(jīng)到了非常抽象的地步，但是計算機所應(yīng)用的數(shù)學(xué)依然是之前的經(jīng)典東西，怎么樣學(xué)好數(shù)學(xué)，通過計算機這個平臺用好數(shù)學(xué)，將計算引入世界的每一個角落，無時無可得都在運算，用于提高人類的生活質(zhì)量，這將是我們計算機學(xué)科從業(yè)人員的終極目的和追求。

數(shù)學(xué)與計算機這對較為古遠的母子關(guān)系，現(xiàn)在也已經(jīng)有了新的發(fā)展。學(xué)好計算機離不開好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而學(xué)好計算機卻也大大體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的作用也不可忽視。在這個需要不斷進步和發(fā)展的時代，學(xué)習(xí)永無止境。增長知識的途徑也越來越多，社會的發(fā)展需要越來越多的計算機人才的出現(xiàn)。計算機的發(fā)展提高了人們的生活水準，帶動了政治、經(jīng)濟、文化的發(fā)展。今天就先和大家介紹到這里，想要了解更多關(guān)于計算機的信息，請繼續(xù)關(guān)注中培偉業(yè)。